Progresiones

=Introducción= Todos nosotros alguna vez hemos hecho ejercicios que consistían en completar una serie numérica, por ejemplo el conjunto de los números pares 2, 4 6, 8, .... . El concepto de serie numérica en matemáticas se llama **sucesión**. Las progresiones aritméticas y geométricas son sucesiones, es decir, series numéricas. A continuación expondremos con más detalle dichos conceptos.

=Sucesión= Llamamos sucesión a cualquier serie numérica infinita. Por ejemplo: La sucesión de los números pares 2, 4 6, 8, .... . La sucesión de las potencias de 2: 2,4,8,16.......

Las sucesiones se nombran de la siguiente forma: También podemos nombrar cada uno de los términos utilizando los números naturales., por ejemplo en la siguiente sucesión el término 1 o primer término es igual a 3 el término 2 o segundo término es igual a 6 el término 5 o quinto término es igual a 15

Sin embargo esta forma de referirse a un término de la sucesión es muy complicada e ineficiente, por tanto utilizaremos la siguiente notación Si observamos la expresión anterior el subíndice 1 indica que nos estamos refiriendo al término 1 o primer término de la sucesión.

=Término general de una sucesión= Si observamos un momento la sucesión para obtener un término únicamente debemos sumar 3 al término anterior. Por ejemplo para calcular el sexto término únicamente debemos sumar al quinto el número 3 de la siguiente forma: Esto mismo los podríamos hacerlo para cualquier término, el sexto, el séptimo, décimo etc...

Pero, ¿qué ocurre si quisiéramos obtener el término 100, debemos calcular los 99 anteriores? No es necesario para eso debemos obtener una expresión matemática o fórmula matemática que me permita calcular cualquier término sin necesidad de conocer los anteriores, a esa expresión la llamaremos **Término general de la sucesión**. En nuestro ejemplo



En la sucesión anterior si quiero calcular el término 100 únicamente debemos dar a n el valor 100 y obtendríamos el término 100 En la sucesión de las potencias de 2 el término general sería: Observa que en la expresión del término general utilizamos la letra n para referirnos a cualquier término de la sucesión. =**Progresión aritmética**= Veamos la siguiente sucesión: Si observas detenidamente dicha sucesión cada uno de los términos se obtiene sumándole 5 al término anterior por ejemplo para calcular el sexto término únicamente debemos sumar 5 al quinto término: Cuando en una sucesión cualquier término se obtiene sumándo una cantidad fija, llamada diferencia "d", al término anterior decimos que la sucesión es una progresión aritmética o los términos de la sucesión están en progresión aritmética. La sucesión anterior es una progresión aritmética ya que para obtene cualquier término debemos sumar 5 al término anterior.

Diferencia de una progresión aritmética
Observa la siguiente progresión aritmética: ¿Cuánto vale la diferencia d? Para obtener la diferencia de una progresión aritmética únicamente debemos restar un término y su anterior De forma general

Término general de una progresión aritmética.
Las progresiones aritméticas son casos particulares de las sucesiones, por tanto, podemos hallar su término general. Observa el siguiente ejemplo: su diferencia es Para obtener el término general de la progresión, vamos a obtener el término 5 a partir del primer término Podemos generalizar el término anterior